Question

7．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BB₁，AB=1，AA₁=$\sqrt{2}$，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（1）证明：AB₁⊥平面BCD；
（2）若OC=OA，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）使用勾股定理求出BD，AB₁，根据△AOD∽△B₁OB可求出AO和DO的长，利用勾股定理的逆定理得出AO⊥OD，又CO⊥侧面ABB₁A₁可得OC⊥OA，故而AB₁⊥平面BCD；
（2）将三棱柱分解成三个小三棱锥计算体积．

解答 （1）证明：∵AB⊥BB₁，AB=1，AA₁=BB₁=$\sqrt{2}$，D为AA₁的中点，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AB₁=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∵△AOD∽△B₁OB，∴$\frac{AO}{O{B}_{1}}=\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{B{B}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴AO=$\frac{1}{3}A{B}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{1}{3}BD=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴AO²+OD²=$\frac{1}{2}$=AD²．
∴AO⊥OD，
∵CO⊥侧面ABB₁A₁，AO?平面ABB₁A₁，
∴CO⊥AO，又∵OC?平面BCD，OD?平面BCD，OC∩OD=O，
∴AO⊥平面BCD，即AB₁⊥平面BCD．
（2）连结B₁C，A₁C，
则V${\;}_{棱锥C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=V${\;}_{棱锥{B}_{1}-ABC}$=V${\;}_{棱锥C-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$．
∵OC=OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，S${\;}_{△AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×AB×B{B}_{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V${\;}_{棱锥{B}_{1}-ABC}$=V${\;}_{棱锥C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△AB{B}_{1}}$•CO=$\frac{\sqrt{6}}{18}$．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=3V${\;}_{棱锥{B}_{1}-ABC}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算．属于中档题．