Question

16．设命题p：若实数x满足x²-4ax+3a²≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8≥0\end{array}\right.$
（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别化简命题p：a＜x＜3a；命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8≥0\end{array}\right.$，解得2≤x≤3．
（1）若a=1，则p化为：1＜x＜3，由p∧q为真，可得p与q都为真．
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出．

解答 解：命题p：若实数x满足x²-4ax+3a²≤0，其中a＞0，可得a＜x＜3a；命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8≥0\end{array}\right.$，化为$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）（x+2）≤0}\\{（x+4）（x-2）≥0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤3}\\{x≥2或x≤-4}\end{array}\right.$，解得2≤x≤3．
（1）若a=1，则p化为：1＜x＜3，∵p∧q为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2≤x≤3}\end{array}\right.$，解得2≤x≤3．
∴实数x的取值范围为[2，3]．
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3≤3a}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[1，2]．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．