Question

4．已知平面上两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=$\frac{4}{3}$x ④y=2x+1
是“单曲型直线”的是①②．

Answer 1

分析 由已知点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$，（x＞0）．分别与①②③④中的直线联立方程组，根据方程组的解的性质判断该直线是否为“单曲型直线”．

解答 解：∵|PM|-|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$，（x＞0）．
对于①，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，消y得7x²-18x-153=0，
∵△=（-18）²-4×7×（-153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，消y得x²=$\frac{15}{4}$，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=\frac{x}{4}}\end{array}\right.$，整理得144=0，不成立．∴$y=\frac{4}{3}x$不是“单曲型直线”．
对于④，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=2x+1}\end{array}\right.$，消y得20x²+36x+153=0，
∵△=36²-4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
故符合题意的有①②．
故答案为：①②．

点评 本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．