Question

已知函数f(x)=2cos2(x+

π

12

)+sin2x．
（Ⅰ）求它的最小正周期T；
（Ⅱ）若f(α)=

3

2

，α∈(0，π)，求α的值；
（Ⅲ）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简 f（x）的解析式为sin（2x+

π

3

）+1，故它的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由 f(α)=

3

2

，α∈(0，π)，可得 sin（2α+

π

3

）=

1

2

，2α+

π

3

=

5π

6

或

13π

6

，由此求得 α的值．
（Ⅲ）由 2kπ-

π

2

≤2α+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2cos2(x+

π

12

)+sin2x=1+cos2（x+

π

12

）+sin2x=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+1=sin（2x+

π

3

）+1，
∴它的最小正周期T=

2π

2

=π．，
（Ⅱ）∵f(α)=

3

2

，α∈(0，π)，∴sin（2α+

π

3

）+1=

3

2

，∴sin（2α+

π

3

）=

1

2

．
∵α∈（0，π），∴2α+

π

3

∈（

π

3

，

7π

3

），∴2α+

π

3

=

5π

6

 或

13π

6

，∴α=

π

4

 或

11π

12

．
（Ⅲ）由  2kπ-

π

2

≤2α+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得   kπ-

5π

12

≤α≤kπ+

π

12

，k∈z，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性、周期性，属于中档题．