Question

【题目】已知抛物线C; y2 =2x的焦点为F，准线为l， P为抛物线C上异于顶点的动点.

（1）过点P作准线1的垂线，垂足为H，若△PHF与△POF的面积之比为2：1，求点P的坐标；

（2）过点M(，0)任作一条直线 m与抛物线C交于不同的两点A， B.若两直线PA， PB 斜率之和为2，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得抛物线的焦点和准线，设，，由三角形的面积公式可得，解方程可得，进而可得的坐标；

（2）设直线的方程为，，联立抛物线的方程，消去，可得的二次方程，设，，，，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，化简整理可得，的方程，由恒成立思想可得，进而得到所求的坐标，

解：（1）抛物线的焦点为，，准线为，

设，，由，可得，

由，与的面积之比为，可得，

即为，解得，则的坐标为，；

（2）设直线的方程为，，联立抛物线方程可得，

由△，即，，设，，，，

可得，，

则，

化为，

即，可得对满足条件的恒成立，

可得，则的坐标为，．