Question

【题目】已知函数为定义在上的偶函数，当时，.

（1）当时，求函数的单调区间;

（2）若函数有两个零点：求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为,，单调递增区间为；（2）或

【解析】

根据题意求出函数在上的单调区间,再利用偶函数在对称区间上单调性相反求出函数在区间上的单调区间即可;

由函数为定义在上的偶函数,只需方程在上有一个根即可,分三种情况,,分别求出时,函数的解析式,利用函数的单调性求出其值域,进而求出实数的取值范围即可.

（1）由题意可得,当,时，，

令，即,解得，

当时,,所以，

因为函数 在上单调递减，

所以函数在上单调递减;

当时,,所以，

因为函数 在上单调递减,

所以函数在上单调递增,

所以函数在上单调递增;

因为函数为定义在上的偶函数,

由偶函数在对称区间上单调性相反可得,

函数在上单调递增,在上单调递减,

故函数单调递减区间为,，单调递增区间为.

（2）由题可得,函数有两个零点，

即方程有两个不同根，

因为为定义在上的偶函数,其图象关于轴对称,

故方程在上有一个根即可.

当时，则,因为，

所以当时,，

所以在上有一个根，

由于在上单调递减,,

所以,即,

故实数的取值范围为；

当时，令，解得，

因为函数为上的减函数,

所以当时,,

所以函数为上的减函数,

所以,

当时，,

所以函数为上的增函数，

所以,

要使方程在上有一个根,

只需或，解得或,

故实数的取值范围为或;

当,时,因为,所以，

所以函数,

因为函数在上单调递减，

所以函数在上单调递增,

因为,所以,

即，

故只需，即,

故实数的取值范围为.

综上可得，实数的取值范围为或.