Question

【题目】如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为斜边上一点.点为线段上一点，且.

（1）证明：平面；

（2）当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先算出的长度，利用勾股定理证明，再由已知可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）由（1）可得为直线与平面所成的角，要使其最大，则应最小，可得为中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.

（1）在中，，由余弦定理得

，

∴，

∴，

由题意可知：∴，，，

∴平面，

平面，∴，

又，

∴平面.

（2）以为坐标原点，以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.

∵平面，∴在平面上的射影是，

∴与平面所成的角是，∴最大时，即，点为中点.

，，，，，

，，设平面的法向量，

由，得，令，得，

所以平面的法向量，

同理，设平面的法向量，由，得，

令，得，所以平面的法向量，

∴，，

故二面角的正弦值为.