Question

18．已知椭圆C的中心在坐标原点，经过两点P（2，0）和Q（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过原点的直线l₁与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点的直线l₂与椭圆C交于M，N两点，且l₁∥l₂，是否存在常数λ，使得|AB|²=λ|MN|？若存在，请求出λ的值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）运用离心率公式和内切圆的性质以及三角形的面积公式，计算即可得到a，b，c，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线x=my，代入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得|AB|，再由计算即可得到所求常数λ．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）
由题意可得a=2，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，
可得b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直线与椭圆方程，联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
即有y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{6m}{4+3{m}^{2}}）^{2}-4•（-\frac{9}{4+3{m}^{2}}）}$=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由x=my代入椭圆方程可得
消去x，并整理得y²=$\frac{12}{4+3{m}^{2}}$
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₃-y₄|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$
即有|AB|²=4|MN|．
故存在常数λ=4，使得|AB|²=4|MN|．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和内切圆的性质，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．