Question

已知函数f(x)=4^x+a·2^x+1+4。
（1）当a=1时，求函数f(x)的值域；
（2）若关于x的方程f(x)=0有两个大于0的实根，求a的取值范围；
（3）当x∈[1，2]时，求函数f(x)的最小值。

Answer 1

解：（1）设，
则，
当a=1时，，对称轴t=-1，开口向上，
∴g(t)在(0，+∞)上单调递增，
∴，
∴函数f(x)的值域为。
（2）由x＞0，得t＞1，方程f(x)=0有两个大于0的实根等价于方程t²+2at+4=0有两个大于1的实根，
则需，解得：，
∴。
（3）由x∈[1，2]，得t∈[2，4]，
① 当-a≥4，即a≤-4时，g(t)在[2，4]单调递减，∴；
② 当2≤-a≤4，即-4≤a≤-2时，；
③当-a≤2即a≥-1时，g(t)在[2，4]单调递增，∴。