Question

下列四个命题：
①（x+

1

x

+2）⁵的展开式共有6项；
②设回归直线方程为

^y

=2-2.5x，当变量x增加-个单位时，y平均增加2.5个单位；
③已知ξ服从正态分布N （0，σ²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2；
④已知函数f（a）=

∫

a 0

sinxdx，则f[f（

π

2

）]=1-cos1．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用,概率与统计,二项式定理

分析：①，将已知关系式转化为（x+

1

x

+2）⁵=

(x+1)10

x5

，利用二项式定理可知展开式共有11项，可判断①；
②，设回归直线方程为

^y

=2-2.5x，当变量x增加-个单位时，y平均减少2.5个单位，可判断②；
③，利用正态分布的概率公式，可求得P（ξ＞2）=0.5-P（0≤ξ≤2）=0.5-0.4=0.1，可判断③；
④，利用微积分基本定理可求得f（

π

2

）=1-cos

π

2

=1，继而可求得f[f（

π

2

）]=1-cos1，可判断④．

解答： 解：对于①，（x+

1

x

+2）⁵=(

x2+2x+1

x

)5=

(x+1)10

x5

展开式共有11项，故①错误；
对于②，设回归直线方程为

^y

=2-2.5x，当变量x增加-个单位时，y平均减少2.5个单位，故②错误；
对于③，∵ξ服从正态分布N （0，σ²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，
∴P（0≤ξ≤2）=0.4，
∴P（ξ＞2）=0.5-P（0≤ξ≤2）=0.5-0.4=0.1，故③错误；
对于④，∵f（a）=

∫

a 0

sinxdx=-cosx

|

a 0

=1-cosa，
∴f（

π

2

）=1-cos

π

2

=1，
∴f[f（

π

2

）]=f（1）=1-cos1，故④正确．
综上所述，正确命题的个数为1个，
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查二项式定理、回归方程、正态分布及微积分基本定理的应用，考查转化思想与运算求解能力．