Question

已知函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）=2^x-a，且f（-2）=3，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求满足f（x）＞1的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用偶函数的定义f（-x）=f（x），先求出a的值，把x≤0转化为-x≥0，再利用x≥0时，f（x）=2^-x-1．
（2）需要分类讨论，即可求出不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函数f（x）是定义域为R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴f（-2）=f（2），
∵x≥0时，f（x）=2^x-a，f（-2）=3
∴2²-a=3，
解得a=1，
∴x≥0时，f（x）=2^x-1，
令x＜0则-x＞0，
∴f（-x）=2^-x-1=(

1

2

)x-1=f（x）
即x＜0时f（x）=(

1

2

)x-1=
故f（x）=

2x-1，x≥0 ( 1 2 )x-1，x＜0

，
（2）当x≥0时，f（x）＞1，
∴2^x-1＞1，
解得，x＞1，
当x＜0时，f（x）＞1，
∴2^-x-1＞1，
解得-2＜x＜0，
综上所述不等式的解集为（-2，0）∪（1，+∞）

点评：本题考查了函数的解析式的求法，函数的奇偶性，以及不等式的解法，属于基础题