Question

（2012•武昌区模拟）已知数列{an}满足：a1=2，an+1=3an+3n+1-2n(n∈N*)．
（I）设bn=

an-2n

3n

，证明：数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）设Cn=

an+1

an

(n∈N*)，是否存在k∈N*，使得Cn≤Ck对一切正整数n均成立，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）bn=

an-2n

3n

，利用等差数列的定义，即可证明{b_n}为等差数列，公差为1，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法及等比数列的求和公式，即可求得结论；
（Ⅲ）根据通项计算前几项，猜测C₁最大，再进行证明．

解答：（Ⅰ）证明：∵bn+1-bn=

an+1-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=

3an+3n+1-2n-2n+1

3n+1

-

an-2n

3n

=1，
∴{b_n}为等差数列，公差为1．
又b₁=0，∴b_n=n-1，∴an=(n-1)•3n+2n．     …（4分）
（Ⅱ）解：设Tn=0•31+1•32+…+(n-1)•3n，则
3Tn=0•32+1•33+…+(n-1)•3n+1．∴-2Tn=32+…+3n-(n-1)•3n+1=

9(1-3n-1)

1-3

-(n-1)•3n+1．
∴Tn=

9-3n+1

4

+

(n-1)•3n+1

2

=

(2n-3)•3n+1+9

4

．
∴Sn=Tn+(2+22+…+2n)=

(2n-3)3n+1+2n+3+1

4

．…（8分）
（Ⅲ）解：由已知得Cn=

n•3n+1+2n+1

(n-1)3n+2n

，从而求得C1=

13

2

，  C2=

62

13

，  C3=

259

62

，…
猜测C₁最大，下证：
∵Cn-C1=

an+1

an

-

a2

a1

=

(n•3n+1+2n+1)•2-13[(n-1)•3n+2n]

an•a1

=

(13-7n)•3n-9.2n

an•a1

≤0，
∴存在k=1，使得C_n≤C_k对一切正整数n均成立．  …（12分）

点评：本题考查等差数列的定义，考查错位相减法求和，考查恒成立问题，正确运用求和是关键．