已知圆过定点,圆心在抛物线上,、为圆与轴的交点.
(1)当圆心是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长.
(2)当圆心在抛物线上运动时,是否为一定值?请证明你的结论.
(3)当圆心在抛物线上运动时,记,,求的最大值,并求出此时圆的方程.
(1);(2)是定值,为2;(3)取得最大值,此时圆的方程为.
解析试题分析:(1)这是关于圆的基本计算问题,圆心是抛物线的顶点,又圆过点,可得圆半径为,就得出了圆的方程,抛物线的准线为,与圆相交弦长可用直角三角形法求解,弦心距,弦的一半,相应半径可构成一个直角三角形,应用勾股定理易得;(2)圆心在抛物线上运动,可设圆心坐标为,与(1)同法可得弦长,当然本题中弦在轴上,故可在圆方程中令,求出,也即求出为定值;(3)根据圆的性质,由(2)可得两点的坐标为,这样就可用来表示,可求得,时,有,时,利用基本不等式有,从而(当且仅当,即时等号成立),故所求最大值为.
试题解析:(1)抛物线的顶点为,准线方程为,圆的半径等于1,圆的方程为.弦长 4分
(2)设圆心,则圆的半径,
圆的方程是为: 6分
令,得,得,,
是定值. 8分
(3)由(2)知,不妨设,,,.
. 11分
当时,. 12分
当时,.
当且仅当时,等号成立 14分
所以当时,取得最大值,此时圆的方程为.
16分
考点:(1)抛物线的几何性质,圆的弦长公式;(2)圆的弦长;(3)基本不等式与最大值问题.
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抛物线在点,处的切线垂直相交于点,直线与椭圆相交于,两点.
(1)求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离;
(2)设点到直线的距离为,试问:是否存在直线,使得,,成等比数列?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
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如图,已知椭圆E的中心是原点O,其右焦点为F(2,0),过x轴上一点A(3,0)作直线与椭圆E相交于P,Q两点,且的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线,若共线请证明;反之说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线,设点,,为抛物线上的动点(异于顶点),连结并延长交抛物线于点,连结、并分别延长交抛物线于点、,连结,设、的斜率存在且分别为、.
(1)若,,,求;
(2)是否存在与无关的常数,是的恒成立,若存在,请将用、表示出来;若不存在请说明理由.
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已知点,,动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)在直线:上取一点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为.问:是否存在点,使得直线//?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知是椭圆E:的两个焦点,抛物线的焦点为椭圆E的一个焦点,直线y=上到焦点F1,F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上,
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)如图,过点的动直线交椭圆于A、B两点,是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
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已知坐标平面内:,:.动点P与外切与内切.
(1)求动圆心P的轨迹的方程;
(2)若过D点的斜率为2的直线与曲线交于两点A、B,求AB的长;
(3)过D的动直线与曲线交于A、B两点,线段中点为M,求M的轨迹方程.
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已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为,点是点关于轴的对称点,过点的直线交抛物线于两点。
(Ⅰ)试问在轴上是否存在不同于点的一点,使得与轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点的坐标,若不存在说明理由。
(Ⅱ)若的面积为,求向量的夹角;
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