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    【题目】已知函数，.

    （1）设函数，讨论的极值点个数，并求出相应极值；

    （2）若，且，求证：.

    【答案】（1）极值点个数见解析，相应极值见解析；（2）证明见解析

    【解析】

    （1）求出的导函数，对a进行分类讨论求解讨论极值点；

    （2）根据导函数得，结合在上单调递增，即可得证.

    （1）函数

    ，

    ∴

    ，

    令，解得或，

    当时，；当时，.

    ①若时，在上单调递增，在上单调递减，

    在上单调递增，有2个极值点.

    ∴当时，函数有极小值，极小值为；

    当时，函数有极大值，极大值为.

    ②当时，在上单调递增，

    在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点，

    ∴当时，函数有极大值，极大值为；

    当时，函数有极小值，极小值为.

    ③当时，，

    ∴在R上单调递增，无极值点，故无极值.

    （2）∵，

    又，

    ∴，

    又在上单调递增，

    ∴时，有，

    ∴.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆的方程为被圆截得的弦长为.

    （Ⅰ）求实数的值；

    （Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，且，求的值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】甲、乙两人在相同条件下各射击次，每次中靶环数情况如图所示：

    （1）请填写下表（先写出计算过程再填表）：

    平均数

    方差

    命中环及环以上的次数

    甲

    乙

    （2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行

    ①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；

    ②从平均数和命中环及环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；

    ③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.

    参考公式：.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】给出下列五个命题：

    ①已知直线、和平面，若，，则；

    ②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；

    ③双曲线，则直线与双曲线有且只有一个公共点；

    ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；

    ⑤过的直线与椭圆交于、两点，线段中点为，设直线斜率为，直线的斜率为，则等于.

    其中，正确命题的序号为_______.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆的左右顶点为，为椭圆上异于的动点，设直线的斜率分别为，且.

    （1）求椭圆的离心率；

    （2）当椭圆内切于圆时，设动直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，若，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．

    （Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；


    优分

    非优分

    总计

    男生




    女生




    总计



    50

    （ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？

    （Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．

    附：


    0.100

    0.050

    0.010

    0.001


    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:

    其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).

    (I)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；

    (II)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；

    (III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数（a∈R且a≠0）.

    （1）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

    （2）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；

    （3）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数

    （1）求函数的极值点；

    （2）定义：若函数的图像与直线有公共点，我们称函数有不动点.这里取：，若，如果函数存在不动点，求实数取值范围.

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