【题目】给出下列五个命题:
①已知直线、
和平面
,若
,
,则
;
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线;
③双曲线,则直线
与双曲线有且只有一个公共点;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直;
⑤过的直线
与椭圆
交于
、
两点,线段
中点为
,设直线
斜率为
,直线
的斜率为
,则
等于
.
其中,正确命题的序号为_______.
【答案】④⑤
【解析】
利用线面平行的判定定理可判断①的正误;结合抛物线的定义及条件可判断②的正误;利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误;利用反证法结合线面垂直的定义可判断④的正误;利用点差法可判断⑤的正误.
①线面平行的前提条件是直线,所以条件中没有
,所以①错误;
②当定点位于定直线上时,此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线,只有当点不在直线时,轨迹才是抛物线,所以②错误;
③因为双曲线的渐近线方程为,当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点,当直线与渐近线重合时,没有交点,所以③错误;
④若,
,
,且
与
不垂直,
假设,由于
,则
,这与已知条件矛盾,假设不成立,则
与
不垂直,所以④正确;
⑤设、
,中点
,则
,
,
把,
分别代入椭圆方程
,
得,两式相减得
,
整理得,即
,所以⑤正确.
所以正确命题的序号为④⑤.
故答案为:④⑤.
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【题目】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图,则下列结论中一定正确的是( )
(注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生).
A.互联网行业从业人员中80前占3%以上
B.互联网行业90后中,从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多
C.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
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【题目】为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天,某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动,共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项:①到各班做宣传,倡议同学们积极捐献冬衣;②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况,只参与其中的某一项工作.相关统计数据如下表所示:
(1)如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人,再从这5人中选2人,那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生,8名女生,从中选出2名志愿者,用表示所选志愿者中的女生人数,写出随机变量
的分布列及数学期望.
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【题目】设点是抛物线
的焦点,
、
是
上两点.若
,且线段
的中点到
轴的距离等于
.
(1)求的值;
(2)设直线与
交于
、
两点且在
轴的截距为负,过
作
的垂线,垂足为
,若
.
(i)证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标;
(ii)求点的轨迹方程.
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【题目】2019年全国“两会”,即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议,分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开为了了解哪些人更关注“两会”,某机构随机抽取了年龄在15~75岁之间的200人进行调查,并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示,把年龄落在区间和
内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为
.其中“青少年人”中有40人关注“两会”,“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是
.
(1)求图中的值;现釆用分层抽样在
和
中随机抽取8名代表,从8人中仼选2人,求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少?
(2)根据已知条件,完成下面的列联表,并根据此统计结果判断:能否有
的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”?
关注 | 不关注 | 合计 | |
青少年人 | |||
中老年人 | |||
合计 |
参考数据及公式:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆的左、右两个焦点分别为
,离心率
,短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)点为椭圆上的一动点(非长轴端点),
的延长线与椭圆交于
点,
的延长线与椭圆交于
点,求
面积的最大值.
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【题目】已知椭圆:(a>b>0)过点E(
,1),其左、右顶点分别为A,B,左、右焦点为F1,F2,其中F1(
,0).
(1)求椭圆C的方程:
(2)设M(x0,y0)为椭圆C上异于A,B两点的任意一点,MN⊥AB于点N,直线l:x0x+2y0y﹣4=0,设过点A与x轴垂直的直线与直线l交于点P,证明:直线BP经过线段MN的中点.
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