【题目】已知椭圆:(a>b>0)过点E(
,1),其左、右顶点分别为A,B,左、右焦点为F1,F2,其中F1(
,0).
(1)求椭圆C的方程:
(2)设M(x0,y0)为椭圆C上异于A,B两点的任意一点,MN⊥AB于点N,直线l:x0x+2y0y﹣4=0,设过点A与x轴垂直的直线与直线l交于点P,证明:直线BP经过线段MN的中点.
【答案】(1);(2)证明详见解析.
【解析】
(1)根据椭圆上一点到两焦点的距离之和为2a,可求出a,已知焦点坐标,可知c,可求方程.
(2)根据题意求出ABP的坐标,求PB直线方程,求出点N坐标,求出其中点,可代入判断在直线PB上.
(1)由题意知,2a=|EF1|+|EF2|4,
则a=2,c,b
,
故椭圆的方程为,
(2)由(1)知A(﹣2,0),B(2,0),
过点A且与x轴垂直的直线的方程为x=﹣2,
结合方程x0x+2y0y﹣4=0,得点P(﹣2,),
直线PB的斜率为,
直线PB的方程为,
因为MN⊥AB于点N,所以N(x0,0),线段MN的中点坐标(),
令x=x0,得,
因为,所以
,
即直线BP经过线段MN的中点.
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【题目】给出下列五个命题:
①已知直线、
和平面
,若
,
,则
;
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线;
③双曲线,则直线
与双曲线有且只有一个公共点;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直;
⑤过的直线
与椭圆
交于
、
两点,线段
中点为
,设直线
斜率为
,直线
的斜率为
,则
等于
.
其中,正确命题的序号为_______.
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【题目】已知函数(a∈R且a≠0).
(1)当a时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性与单调区间;
(3)若y=f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)<9﹣lna.
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【题目】2020年春节期间,新型冠状病毒(2019﹣nCoV)疫情牵动每一个中国人的心,危难时刻全国人民众志成城.共克时艰,为疫区助力.我国S省Q市共100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力,募捐价值百万的物资对口输送湖北省H市.
(1)现对100家商家抽取5家,其中2家来自A地,3家来自B地,从选中的这5家中,选出3家进行调研.求选出3家中1家来自A地,2家来自B地的概率.
(2)该市一商家考虑增加先进生产技术投入,该商家欲预测先进生产技术投入为49千元的月产增量.现用以往的先进技术投入xi(千元)与月产增量yi(千件)(i=1,2,3,…,8)的数据绘制散点图,由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线的附近,且:
,
,
,
,
,其中,
,
,根据所给的统计量,求y关于x回归方程,并预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量.
附:对于一组数据(u1,v1)(u2,v2),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
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【题目】我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中,常用函数的图象研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
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【题目】已知函数
(1)求函数的极值点;
(2)定义:若函数的图像与直线
有公共点,我们称函数
有不动点.这里取:
,若
,如果函数
存在不动点,求实数
取值范围.
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【题目】如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( )
A. 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件
B. 2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%,在3月底最高
C. 从两图来看,2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D. 从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为正方形,
平面
,
,点
为线段
的动点.记
与
所成角的最小值为
,当
为线段
中点时,二面角
的大小为
,二面角
的大小为
,则
,
,
的大小关系是( )
A.B.
C.
D.
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