【题目】科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障,下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).
(I)从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;
(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X的分布列和数学期望;
(III)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.
【答案】(I); (II),分布列如下:
0 | 1 | 2 | |
(III)2010年到2019年共10年中,研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年,每年基本上都在增加,因此公司在发展的过程中重视研发.
【解析】
(I) 折线图中2010年到2019年共10年中,2010年公司研发投入占当年总营收的百分比在以下
(II) 2010年到2019年共10年中,研发投入超过500亿元的有5年,的取值可能为0,1,2,超几何分布求概率.
(III) 图中信息10年中,研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年,每年基本上都在增加, 判断公司在发展的过程中比较重视研发.
(I)由题知,2010年到2019年共10年中,研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年,设从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件 ,.
(II)由题意得的取值可能为0,1,2
,
,
.
的分布列为
0 | 1 | 2 | |
.
(III)2010年到2019年共10年中,研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年,每年基本上都在增加,因此公司在发展的过程中重视研发.
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【题目】树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查,调查数据表明,环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此问题的约占.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人,并将这200人按年龄分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
(I)求出的值;
(II)求出这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);
(III)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求第2组恰好抽到2人的概率.
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【题目】设点是抛物线的焦点,、是上两点.若,且线段的中点到轴的距离等于.
(1)求的值;
(2)设直线与交于、两点且在轴的截距为负,过作的垂线,垂足为,若.
(i)证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标;
(ii)求点的轨迹方程.
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【题目】为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度,某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱贫的户数占当年贫困户总数的比)为70%,2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加户数占2019年贫困总户数的比)及该项目的脱贫率见下表:
实施项目 | 种植业 | 养殖业 | 工厂就业 |
参加占户比 | 45% | 45% | 10% |
脱贫率 | 96% | 96% | 90% |
那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的( )倍.
A.B.C.D.
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【题目】已知椭圆的左、右两个焦点分别为,离心率,短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)点为椭圆上的一动点(非长轴端点),的延长线与椭圆交于点, 的延长线与椭圆交于点,求面积的最大值.
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【题目】对于定义域为的函数,如果存在区间满足是上的单调函数,且在区间上的值域也为,则称函数为区间上的“保值函数”,为“保值区间”.根据此定义给出下列命题:①函数是上的“保值函数”;②若函数是上的“保值函数”,则;③对于函数存在区间,且,使函数为上的“保值函数”.其中所有真命题的序号为( )
A.②B.③C.①③D.②③
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【题目】我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中,常用函数的图象研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,在四棱锥中,,,,,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)在棱上是否存在一点E,使得二面角的大小为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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