Question

【题目】对于定义域为的函数，如果存在区间满足是上的单调函数，且在区间上的值域也为，则称函数为区间上的“保值函数”，为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数是上的“保值函数”；②若函数是上的“保值函数”，则；③对于函数存在区间，且，使函数为上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（ ）

A.②B.③C.①③D.②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根据函数单调性定义和“保值函数”的概念判断即可，②结合函数的图象可得结论，③由导数确定函数在是单调递增的，而方程有两个解（），构造新函数，由零点存在定理确定的零点即可．

由“保值函数”定义可知为区间上的“保值函数”则在上是单调函数且在区间时其值域也为，那么当函数为增函数时满足条件在上有两个不同的实数解，的函数就是“保值函数”，

命题①中，虽满足在上单调但值域为，不是，故①为假命题；

②中由的图象可知，函数在上单调且值域为，其为区间上的“保值函数”故②为真命题；

③中，则由在成立，所以为上的增函数，再由解得有两个根，，构造函数，是减函数，，，由零点存在性定理知存在，使成立，故③为真命题．综上所有真命题的序号为②③，

故选：D．