【题目】如图(1),在矩形中,
,
在边
上,
.沿
,
将
和
折起,使平面
和平面
都与平面
垂直,如图(2).
(1)试判断图(2)中直线与
的位置关系,并说明理由;
(2)求平面和平面
所成锐角二面角的余弦值.
【答案】(1)∥
.见解析(2)
.
【解析】
(1)分别取,
的中点
,
,连结
,
,
,
,可证得
与
都与平面
垂直,从而得它们平行且相等,得平行四边形
,得
,在图(1)中可证得
,从而得结论;
(2)在边上取一点
,使得
,可证得
,
,
两两垂直.以
点为坐标原点,直线
,
,
分别为坐标轴建立空间直角坐标系
,用空间向量法求二面角的余弦.
解:(1).理由如下:
连结,分别取
,
的中点
,
,连结
,
,
,由图(1)
可得,与
都是等腰直角三角形且全等,则
,
,
,如图.
∵平面平面
,交线为
,
平面
,
,∴
平面
.
同理得,平面
,∴
.
又∵∴四边形
为平行四边形,∴
.
∵,
分别是
,
的中点∴
∴.
(2)在边上取一点
,使得
.
由图(1)可得,为正方形,即
.
∵为
的中点∴
.
由(1)知,平面
,∴
,
,
两两垂直.
以点为坐标原点,直线
,
,
分别为坐标轴建立空间直角坐标系
,如图.
设,则
,
,
,
,
∴,
.
设平面的一个法向量为
.
由得
.
令,则
,
,∴
.
由平面是坐标平面
可得:平面
一个法向量为
.
设平面与平面
所成的锐角二面角为
,则
,
∴平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
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【题目】对于定义域为的函数
,如果存在区间
满足
是
上的单调函数,且
在区间
上的值域也为
,则称函数
为区间
上的“保值函数”,
为“保值区间”.根据此定义给出下列命题:①函数
是
上的“保值函数”;②若函数
是
上的“保值函数”,则
;③对于函数
存在区间
,且
,使函数
为
上的“保值函数”.其中所有真命题的序号为( )
A.②B.③C.①③D.②③
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【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
,
,平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面
;
(3)在棱上是否存在一点E,使得二面角
的大小为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】近年来,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.其中共享单车既响应绿色出行号召,节能减排,保护环境,又方便人们短距离出行,增强灵活性.某城市试投放3个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车,三种车的计费标准均为每15分钟(不足15分钟按15分钟计)1元,按每日累计时长结算费用,例如某人某日共使用了24分钟,系统计时为30分钟.A同学统计了他1个月(按30天计)每天使用共享单车的时长如茎叶图所示,不考虑每月自然因素和社会因素的影响,用频率近似代替概率.设A同学每天消费元.
(1)求的分布列及数学期望;
(2)各品牌为推广用户使用,推出APP注册会员的优惠活动:红车月功能使用费8元,每天消费打5折;黄车月功能使用费20元,每天前15分钟免费,之后消费打8折;蓝车月功能使用费45元,每月使用22小时之内免费,超出部分按每15分钟1元计费.设分别为红车,黄车,蓝车的月消费,写出
与
的函数关系式,参考(1)的结果,A同学下个月选择其中一个注册会员,他选哪个费用最低?
(3)该城市计划3个品牌的共享单车共3000辆正式投入使用,为节约居民开支,随机调查了100名用户一周的平均使用时长如下表:
时长 | (0,15] | (15,30] | (30,45] | (45,60] |
人数 | 16 | 45 | 34 | 5 |
在(2)的活动条件下,每个品牌各应该投放多少辆?
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【题目】已知抛物线:
的焦点为
,抛物线
上的点到准线的最小距离为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点作互相垂直的两条直线
,
,
与抛物线
交于
,
两点,
与抛物线
交于
,
两点,
,
分别为弦
,
的中点,求
的最小值.
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【题目】已知椭圆方程为,左,右焦点分别为
,上顶点为A,
是面积为4的直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过作直线与椭圆交于P,Q两点,求
面积的最大值.
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