[题目]在三棱锥中..分别是线段.的中点.底面是正三角形.延长到点.使得.(1)为线段上确定一点.当平面时.求的值,(2)当平面.且时.求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在三棱锥中，，分别是线段，的中点，底面是正三角形，延长到点，使得.

（1）为线段上确定一点，当平面时，求的值；

（2）当平面，且时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）解三角形求得，根据线面平行的性质定理得到，根据平行线等分线段求得的值.

（2）建立空间直角坐标系，根据平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.

（1）在正中，为线段的中点，故

在中，，故

在中，，故，故

因为平面，过的平面平面，

所以

因为是线段的中点，所以为线段的中点.

从而.

（2）因为平面，，所以，，两两垂直.以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，

建立空间直角坐标系.记，

则，，，

又，所以.于是，，.

令平面的一个法向量为，

则由得，

令，得.而平面的一个法向量为，

所以，

故二面角的余弦值为.

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