Question

【题目】已知椭圆：（a＞b＞0）过点E（，1），其左、右顶点分别为A，B，左、右焦点为F1，F2，其中F1（，0）．

（1）求椭圆C的方程：

（2）设M（x0，y0）为椭圆C上异于A，B两点的任意一点，MN⊥AB于点N，直线l：x0x+2y0y﹣4＝0，设过点A与x轴垂直的直线与直线l交于点P，证明：直线BP经过线段MN的中点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明详见解析．

【解析】

（1）根据椭圆上一点到两焦点的距离之和为2a，可求出a，已知焦点坐标，可知c，可求方程．

（2）根据题意求出ABP的坐标，求PB直线方程，求出点N坐标，求出其中点，可代入判断在直线PB上．

（1）由题意知，2a＝|EF1|+|EF2|4，

则a＝2，c，b，

故椭圆的方程为，

（2）由（1）知A（﹣2,0），B（2,0），

过点A且与x轴垂直的直线的方程为x＝﹣2，

结合方程x0x+2y0y﹣4＝0，得点P（﹣2,），

直线PB的斜率为，

直线PB的方程为，

因为MN⊥AB于点N，所以N（x0,0），线段MN的中点坐标（），

令x＝x0，得，

因为，所以，

即直线BP经过线段MN的中点．