【题目】已知椭圆,为其左焦点,在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆上不同的两点,以为直径的圆过原点,求的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)设椭圆的右焦点为,根据在椭圆上,利用椭圆的定义得到,又得解.
(2)分斜率存在和不存在两种情况讨论,当直线的斜率不存在时,由椭圆的对称性,可知,求得A,B坐标求解.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,与椭圆方程联立,根据以为直径的圆过原点,则,再利用直角三角形中线定理有,将韦达定理代入,两式联立求解.
(1)设椭圆的右焦点为,根据椭圆的定义:,
又,
,椭圆的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,由对称性可知,
不妨设,则,,此时.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,
联立,得,
由,得,
由韦达定理得,,
因为以为直径的圆过原点,
所以,
即,
即,满足式.
设的中点是,则,,
,
,当且仅当时等号成立,即,
又因为,所以的最大值为.
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【题目】已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为4,过点作平面与正四棱柱的三条侧棱,,分别交于,,,且,若多面体和多面体的体积比为3∶5,则截面的周长为_________.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表;
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出5人,进行体育锻炼体会交流,从参加体会交流的5人中,随机选出2人作重点发言,求恰好选出一名男生的概率.
参考公式:,其中
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的,女生喜欢抖音的人数占女生人数,若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有( )人
附表:
0.050 | 0.010 | |
3.841 | 6.635 |
附:
A.20B.40C.60D.80
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【题目】已知椭圆的左右顶点为,为椭圆上异于的动点,设直线的斜率分别为,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)当椭圆内切于圆时,设动直线与椭圆相交于两点,为坐标原点,若,问:的面积是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】一个口袋中有4个白球,2个黑球,每次从袋中取出一个球.
(1)若有放回的取2次球,求第二次取出的是黑球的概率;
(2)若不放回的取2次球,求在第一次取出白球的条件下,第二次取出的是黑球的概率;
(3)若有放回的取3次球,求取出黑球次数的分布列及.
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【题目】在三棱锥中,,分别是线段,的中点,底面是正三角形,延长到点,使得.
(1)为线段上确定一点,当平面时,求的值;
(2)当平面,且时,求二面角的余弦值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程;
(2)若直线l:y=kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q,且|OQ|=|PQ|,点M的直角坐标为(1,0),求△PMQ的面积.
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