Question

【题目】已知函数

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，令，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为，若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）不存在，见解析

【解析】

（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域范围内，分别令求得的范围，可得函数的增区间，求得的范围，可得函数的减区间；

（2）假设存在区间，使得函数在区间上的值域为，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.

（1）的定义域为，

，

①即，则恒成立，

故在单调递增，

②若，而，故，

则当时，；

当及时，，

故在单调递减，在单调递增，

③若，即，同理在单调递减，

在单调递增.

（2），所以，

令，则对恒成立，

所以在区间内单调递增，

所以恒成立，

所以函数在区间内单调递增，

假设存在区间，使得函数在区间的值域是，

则，

问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，

即在区间内是否存在两个不相等的实根，

令，则，

设，

则对对恒成立，

所以函数在区间内单调递增，

故恒成立，

所以，

所以函数在区间内单调递增.

所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.

综上所述，不存在区间，

使得函数在区间上的值域是.