Question

已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，圆C的参数方程

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程；
（Ⅲ）求圆C上的点到直线的距离的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，利用和角的正弦函数，即可求得该直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）利用三角函数的同角关系式中的平方关系，消去圆C的参数方程中的参数，即可得圆C的普通方程为：x²+（y+2）²=4，
（III）求出圆心C（0，-2）到直线x+y-1=0的距离，即可得到圆C上的点到直线的距离的最小值．

解答：解：（Ⅰ）极点为直角坐标原点O，ρsin(θ+

π

4

)=ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=

2

2

，
所以ρsinθ+ρcosθ=1，可化为直角坐标方程：x+y-1=0．…（3分）
（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程：x²+（y+2）²=4．…（6分）
（Ⅲ）因为圆心为C（0，-2），
所以点C到直线的距离为d=

|0-2-1|

2

=

3

2

=

3 2

2

，
所以圆上的点到直线距离的最小值为

3 2 -4

2

．…（8分）

点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题．