Question

函数f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的方程上恰有两个不等实根，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）函数y=f（x）图象是否存在对称中心？若存在，求出对称中以后坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得f^′（x）=3ax²-12ax+3b，f^′（2）=-3且f（2）=5
∴
∴a=1，b=3
∴f（x）=x³-6x²+9x+3
（Ⅱ）既考虑方程m=f（x）在区间[，4]上恰由两个不等实根的情形
∵f（x）=x³-6x²+9x+3
∴f^′（x）=3（x-1）（x-3）
令f^′（x）＞0则x＜1或x＞3而x∈[，4]∴＜x＜1或3＜x＜4即f（x）在x∈[，1）和x∈（3，4]上单调递增
令f^′（x）＜0则1＜x＜3∴f（x）在x∈（1，3）上单调递减
∴当x=1时f（x）取得极大值f（1）=7，当x=3时f（x）取得极小值f（3）=3
∵f（）=，f（4）=7
∴可作出函数f（x）在区间[，4]上的图象
如图可知，当方程f（x）-m=0在[，4]上恰由两个不等实根的情时实数m的取值范围是3＜m＜或m=7
（Ⅲ）存在对称中心，其坐标为（2，5）
由（Ⅱ）知，f^′（x）=3（x-1）（x-3）
∴当x＜1或x＞3时f^′（x）＞0，当1＜x＜3时f^′（x）＜0故可知函数f（x）的极值点为A（1，7），B（3，3），线段AB的中点P（2，5）在曲线y=f（x）上，且该曲线关于点P（2，5）成中心对称，证明如下：
∵f（x）=x³-6x²+9x+3
∴f（4-x）=（4-x）³-6（4-x）²+9（4-x）+3=-x³+6x²-9x+7
∴f（x）+f（4-x）=10
上式表明若点A（x，y）为曲线y=f（x）上任一点，其关于点P（2，5）的对称点A（4-x，10-y）也在曲线y=f（x）上，则曲线y=f（x）关于点P（2，5）对称
分析：（Ⅰ）易求切点为（2，5）则f（2）=5①，然后再根据导数的几何意义可得f^′（2）=-3②根据①②即可求出a，b的值从而可求出函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）问题即求方程m=f（x）在区间[，4]上恰由两个不等实根而解决这类问题常用数形结合的方法即根据导数判断函数的单调性作出函数f（x）的简图然后平行移动直线y=m使得其与f（x）有两个不同的交点所对应的m的范围即为所求．
（Ⅲ）若函数y=f（x）图象存在对称中心则其极值点也关于此中心对称，故可先求出函数f（x）的极值点然后利用中点坐标公式求出的中点即为对称中心然后在利用对称的定义证明则曲线y=f（x）关于此点对称即可．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，数形结合思想的应用，以及曲线的对称中心的求解与证明．解题的关键是要理解导数的几何意义同时要掌握方程的根的个数与所对应的函数的交点的个数是对应的这个转化思想！