【题目】某企业开发一种新产品,现准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内,预计年销量(万件)与广告费
(万元)之间的函数关系为
,已知生产此产品的年固定投入为
万元,每生产
万件此产品仍需要投入
万元,若年销售额为“年生产成本的
”与“年广告费的
”之和,而当年产销量相等:
(1)试将年利润(万元)表示为年广告费
(万元)的函数;
(2)求当年广告费投入多少万元时,企业利润最大?
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【题目】已知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
交椭圆
于
两点,过点
作平行于
轴的直线
,交直线
于点
,求证:直线
恒过定点.
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【题目】已知动圆过定点
,并且内切于定圆
.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)若上存在两个点
,
,(1)中曲线上有两个点
,
,并且
,
,
三点共线,
,
,
三点共线,
,求四边形
的面积的最小值.
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【题目】已知函数,
其中a实数,e是自然对数的底数
.
1
当
时,求函数
在点
处的切线方程;
2
求
在区间
上的最小值;
3
若存在
,
,使方程
成立,求实数a的取值范围.
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【题目】在平面坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线
的极坐标方程为
.
(1)把曲线的方程化为普通方程,
的方程化为直角坐标方程
(2)若曲线,
相交于
两点,
的中点为
,过
点作曲线
的垂线交曲线
于
两点,求
.
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【题目】若集合具有以下性质:(1)
且
;(2)若
,
,则
,且当
时,
,则称集合
为“闭集”.
(1)试判断集合是否为“闭集”,请说明理由;
(2)设集合是“闭集”,求证:若
,
,则
;
(3)若集合是一个“闭集”,试判断命题“若
,
,则
”的真假,并说明理由.
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【题目】中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出10人,进行体育锻炼体会交流,
(i)求这10人中,男生、女生各有多少人?
(ii)从参加体会交流的10人中,随机选出2人作重点发言,记这2人中女生的人数为,求
的分布列和数学期望.
参考公式:,其中
.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+4,n∈N*.
(1)证明:数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(a2n+2)log3(an+2),求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】已知直线恒过定点
,圆
经过点
和点
,且圆心在直线
上.
(1)求定点的坐标与圆
的方程;
(2)已知点为圆
直径的一个端点,若另一个端点为点
,问:在
轴上是否存在一点
,使得
为直角三角形,若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
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