Question

5．已知函数f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x，
①求f（x）的最小正周期；
②该函数的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析 ①由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
②由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：①∵函数f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
②把y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，可得y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象；
再把所得图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x-$\frac{π}{4}$）的图象；
再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的$\sqrt{2}$倍，可得y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）的图象．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．