Question

已知函数f（x）=sinx，g（x）=x-

x3

6

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（

π

4

，f（

π

4

））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x＞f（x）＞g（x）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）中求出斜率，代入点斜式方程即可，（2）中令h（x）=x-sinx，通过求导得：h（x）是[0，+∞）上的增函数，问题得解．令φ（x）=f（x）-g（x）同理可求．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得所求切线的斜率k=f′(

π

4

)=cos

π

4

=

2

2

．
由切点P(

π

4

，

2

2

)，得切线方程为y-

2

2

=

2

2

(x-

π

4

)．
即x-

2

y+1-

π

4

=0．
（Ⅱ）令h（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），h'（x）=1-cosx≥0，
则h（x）是[0，+∞）上的增函数，故当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，
所以x-sinx＞0，即x＞f（x）．
令φ(x)=sinx+

x3

6

-x，x∈[0，+∞)，φ′(x)=cosx+

x2

2

-1，
令u（x）=φ'（x），x∈[0，+∞），u'（x）=x-sinx≥0，则u（x）是[0，+∞）上的增函数，
故当x≥0时，u（x）≥u（0）=0，即φ'（x）≥0，因此φ（x）是[0，+∞）上的增函数，
则当x＞0时，φ（x）＞φ（0）=0，即sinx+

x3

6

-x＞0，f（x）＞g（x）．
综上，x＞0时，x＞f（x）＞g（x）．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的大小．