Question

【题目】若对任意x∈A，y∈B，（AR，BR）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：
①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③ ．
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是 ．

Answer 1

【答案】①
【解析】解：对于①，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1），f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y﹣x|满足（2）；
f（x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）
故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数
对于②不满足（3）
对于③不满足（2）
所以答案是①
【考点精析】掌握函数的概念及其构成要素是解答本题的根本，需要知道函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数．