Question

已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx（其中e为自然对数的底，a∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在负实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是3？如果存在，求出负实数a的值；如果不存在，请说明理由．
（3）设，求证：当a=-1时，．

Answer 1

解：（1）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]
∴f（-x）=-ax+ln（-x）
由f（x）为奇函数可得，f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=-ax+ln（-x）
∴f（x）=ax-ln（-x）
∴
（2）假设存在负数a满足条件
由（1）可得，x∈[-e，0）f（x）=ax-ln（-x）

令f′（x）＞0可得，f′（x）＜0可得
若，则函数在单调递增，在单调递减，则
∴
若，则函数在[-e，0）单调递增，则=
a=2e（舍）
故
（3）a=-1，f（x）=
∴|f（x）|=|x|-ln|x|为偶函数，故只要考虑x∈（0，e]时，f（x）=x-lnx＞0
而此时，g（x）==，x∈（0，e]
≥0可得，x≥1，f′（x）＜0可得，x＜1
∴函数f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，e]单调递增，则f（x）_min=f（1）=1
∴在（0，e]上恒成立，则可得函数g（x）在（0，e]单调递增，则
而即
x∈[-e，0）同理可证
∴
分析：（1）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]，从而可得f（-x）=-ax+ln（-x），结合f（x）为奇函数可求f（x），x∈[-e，0）
（2）假设存在负数a满足条件，由（1）可得，x∈[-e，0）f（x）=ax-ln（-x），结合函数的导数需分，；，两种情况判断函数在[-e，0}上的单调性，进而可求函数的最小值，进而可求a
（3）a=-1，f（x）=，从而可得|f（x）|=|x|-ln|x|为偶函数，故只要考虑x∈（0，e]时，f（x）=x-lnx＞0而此时，g（x）==，x∈（0，e]
结合判断函数f（x）的单调性可求f（x）_min=f（1）=1，而可得可证，从而可证
点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，及利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值，利用单调性证明不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质．是综合性较强的试题．