Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交与两点，过线段的中点与垂直的直线交直线于点，若为等边三角形，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） 或．

【解析】

试题分析：（1），以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积，和可解得和，求得椭圆的标准方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且得到AB的中点M的坐标，并表示过线段的中点与垂直的直线，求点P的坐标，若为等边三角形，那么,求得斜率，得到直线方程.

试题解析：（1）依题意，可得，得，

所以所求椭圆的方程为；

（2）直线的方程为，联立方程组，

消去并整理得，

设，得，

所以，

设的中点，得，

得直线的斜率为，又，

所以，

当为正三角形时，，即，

解得，即直线的方程为或．