Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，ω＞0）的图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{3}{2}$sin2x-k=0在[0，$\frac{π}{2}$]上只有一解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最值得到A，再由函数的周期，结合周期公式得到ω的值，再根据函数图象经过点P（$\frac{π}{3}$，0），结合范围|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，解得ϕ的值，从而得到函数的表达式．
（2）由题意可知函数g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$） 与直线y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上只有一解，结合余弦函数的图象和性质可得k的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）的最大值为1，A＞0，
∴A=1，
又∵函数的周期T=2×[$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$）]=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，
∴函数图象经过点P（$\frac{π}{3}$，0），即：sin（2×$\frac{π}{3}$+ϕ）=0，可得：2×$\frac{π}{3}$+ϕ=kπ，k∈Z，解之得：ϕ=kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∵|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴解得：ϕ=$\frac{π}{3}$，
∴函数的表达式为：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵f（x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{3}{2}$sin2x-k=0，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{3}{2}$sin2x-k=0，化简可得：2cos（2x+$\frac{π}{6}$）=k，
由题意可得函数g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$） 与直线y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上只有一解，
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，故2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]．
如图，要使的两个函数图形有一个交点必须使得k∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]∪{-2}．

点评 本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定其解析式，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识，考查了方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．