Question

20．如图，矩形ACEF和等边三角形ABC中，AC=2，CE=1，平面ABC⊥平面ACEF．M是线段EF上的一个动点．
（1）若BM⊥AC，确定M的位置，并说明理由；
（2）求三棱锥C-ABM的体积．

Answer 1

分析 （1）M为线段EF的中点，证明：分别取AC、EF的中点O、M，连接OM，证明AC⊥BO，AC⊥OM，推出AC⊥面BOM，得到BM⊥AC；
（2）利用${V_{C-ABM}}={V_{B-ACM}}=\frac{1}{3}{S_{△ACM}}h$，转化求解即可．

解答 j解：（1）证明：M为线段EF的中点，理由如下：
分别取AC、EF的中点O、M，连接OM，
在等边三角形ABC中，AC⊥BO，又OM为矩形ACEF的中位线，AC⊥OM，而OM∩OB=O，
所以AC⊥面BOM，所以BM⊥AC；
（2）由题${V_{C-ABM}}={V_{B-ACM}}=\frac{1}{3}{S_{△ACM}}h$，
由（1）和三角形ABC为等边三角形得O为AC的中点，
∴BO为三棱锥B-ACM的高h，
于是$h=\sqrt{3}$，
又∵无论M是EF上的何点，M到AC的距离不变，即为三角形ACM底边AC的高，
∴${S_{△ACM}}=\frac{1}{2}×2×1=1$，
∴${V_{C-ABM}}={V_{B-ACM}}=\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查集合体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理与性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力．