Question

5．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知$\frac{b}{a-b-c}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB-sinA}$．
（I）求角A；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$=2，sinB+sinC=1，求边BC的长．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理将角化边得出a，b，c的关系，使用余弦定理解出A；
（II）用B表示C，代入sinB+sinC=1，得出B和C，根据$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$=2解出b，c利用余弦定理解出BC．

解答 解：（I）∵$\frac{b}{a-b-c}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB-sinA}$=$\frac{a+c}{b-a}$，
∴b（b-a）=（a-b-c）（a+c），即b²+c²-a²=-bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$．
∴cosA=$\frac{2π}{3}$．
（II）∵C=$\frac{π}{3}-B$，sinB+sinC=1，
∴sinB+sin（$\frac{π}{3}-B$）=1，即$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=1，
∴sin（B+$\frac{π}{3}$）=1，∴B=$\frac{π}{6}$．C=$\frac{π}{6}$．
∴b=c．
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$=2，∴bccos60°=2，
∴b=c=2，
∴BC=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．