Question

13．已知x＞y＞z＞1，log₂（$\frac{x}{z}$）•[log${\;}_{（\frac{x}{y}）}$2+log${\;}_{（\frac{y}{z}）}$16]=9，则（　　）

• A． y³=x²z
• B． y³=xz²
• C． y²=xz
• D． 2y³=3xz²

Answer 1

分析 利用换底公式化简可得$lo{g}_{\frac{x}{y}}$$\frac{y}{z}$+4$lo{g}_{\frac{y}{z}}$$\frac{x}{y}$=4，从而解得$lo{g}_{\frac{x}{y}}$$\frac{y}{z}$=2．

解答 解：∵log₂（$\frac{x}{z}$）•[log${\;}_{（\frac{x}{y}）}$2+log${\;}_{（\frac{y}{z}）}$16]=9，
∴（log₂$\frac{x}{y}$+log₂$\frac{y}{z}$）•[log${\;}_{（\frac{x}{y}）}$2+log${\;}_{（\frac{y}{z}）}$16]=9，
∴log₂$\frac{x}{y}$•log${\;}_{（\frac{x}{y}）}$2+log₂$\frac{x}{y}$log${\;}_{（\frac{y}{z}）}$16+log₂$\frac{y}{z}$log${\;}_{（\frac{x}{y}）}$2+log₂$\frac{y}{z}$log${\;}_{（\frac{y}{z}）}$16=9，
∴5+log₂$\frac{y}{z}$log${\;}_{（\frac{x}{y}）}$2+log₂$\frac{y}{z}$log${\;}_{（\frac{y}{z}）}$16=9，
∴log₂$\frac{y}{z}$log${\;}_{（\frac{x}{y}）}$2+log₂$\frac{x}{y}$log${\;}_{（\frac{y}{z}）}$16=4，
∴$lo{g}_{\frac{x}{y}}$$\frac{y}{z}$+4$lo{g}_{\frac{y}{z}}$$\frac{x}{y}$=4，
解得，$lo{g}_{\frac{x}{y}}$$\frac{y}{z}$=2，
故$\frac{y}{z}$=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$，
故y³=x²z，
故选：A．

点评 本题考查了对数运算的应用及学生的化简运算能力的应用．