Question

4．已知x，y，z都是质数，则方程x^y+7=z的解（x，y，z）的个数是1．

Answer 1

分析 若x为奇数，则Z=x^y+7为偶数，不符，因此x为偶数，且为质数只能是x=2，
设y=pq（p为奇数），根据二项式定理即可证明以z-6为偶数，这与z-6为质数相矛盾，故假设不成立，则y只能为2，问题得以解决

解答 解：若x为奇数，则Z=x^y+7为偶数，不符，因此x为偶数，且为质数只能是x=2，
设y=pq（p为奇数），
z-6=2^pq-1=（2^q）^p+1=[（2^q+1）-1]^p+7=（-1）^0pC_p⁰（2^q+1）^p+（-1）¹C_p¹（2^q+1）^p-1+…+（-1）^p-1C_p^p-1（2^q+1）¹+（-1）^p+1，
=（2^q+1）[（-1）^0pC_p⁰（2^q+1）^p-1+（-1）¹C_p¹（2^q+1）^p-2+…+（-1）^p-1C_p¹]，
因为2^pq-1＞0，
所以z-6＞0，
所以z-6为质数，
故假设矛盾，
故y只能为2，
z=x^y+7=4+7=11，
因此只有一组质数解：x=y=2，z=7，
故答案为：1．

点评 本题考查了数论的有关问题，关键是判断数x，y的值只能为2，属于难题．