Question

16．如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}}}{π}-1$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{π}-\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{π}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}}}{π}+1$

Answer 1

分析 由三视图还原原几何体，然后利用柱体的体积公式得答案．

解答 解：由三视图还原原几何体如图：

该几何体是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的组合体．
设正三棱柱的底面边长为a，高为b，底面正三角形的内切圆的半径为r，
则由$\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=3×\frac{1}{2}×a×r$，得r=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$．
圆柱的高为b．
∴棱柱的体积为$\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×b=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}b$，圆柱的题为$π×（\frac{\sqrt{3}}{6}a）^{2}×b=\frac{π}{12}{a}^{2}b$．
则几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}b-\frac{π}{12}{a}^{2}b}{\frac{π}{12}{a}^{2}b}=\frac{3\sqrt{3}}{π}-1$．
故选：A．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．