Question

8．设函数$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x-{（sinx-cosx）^2}（x∈R）$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求$g（-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得f（x）的单调递增区间；
（2）用三角函数的平移变换规律，求解出g（x）的解析式，即可求出$g（-\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：函数$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x-{（sinx-cosx）^2}（x∈R）$．
化简可得：f（x）=$2\sqrt{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x）$-1+2sinxcosx
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}-1$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-1$
即$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，（k∈Z）$，
得：$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间是$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，（k∈Z）$．
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1$，
把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到$f（x）=2sin（x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1$的图象，再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到$f（x）=2sinx+\sqrt{3}-1$的图象，
即$g（x）=2sinx+\sqrt{3}-1$．
那么：$g（-\frac{π}{3}）=2sin（-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1=-1$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，平移变换的规律，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．