Question

17．（Ⅰ）求证：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$
（Ⅱ）若a，b，c是实数，求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

Answer 1

分析 （I）使用分析法证明；
（II）利用不等式的性质累加即可结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}+\sqrt{7}$和2$\sqrt{5}$都是正数，
故要证$\sqrt{3}+\sqrt{7}$$＜2\sqrt{5}$，
只要证   （$\sqrt{3}+\sqrt{7}$）²＜（2$\sqrt{5}$）²，
只需证：10+2$\sqrt{21}$＜20，
即证：$\sqrt{21}$＜5，
即证：21＜25，
因为21＜25显然成立，
所以原不等式成立．
（II）∵a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，
∴2a²+2b²+2c²≥2ab+2ac+2bc，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

点评 本题考查了不等式的证明方法，属于基础题．