Question

12．如图，ABC-A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=$\sqrt{13}$．
（1）求证：CN∥平面AB'M；
（2）求三棱锥B'-AMN的体积．

Answer 1

分析 （1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；
（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则V_M-ANB′=V_C-ANB′，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'-AMN的体积可求．

解答 （1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，
∵ABC-A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，
设AB′∩EN=F，连接FM，
则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．
又∵M为CC′的中点，
∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，
而MF?平面AB'M，CN?平面AB'M，
∴CN∥平面AB'M；
（2）解：∵CM∥平面ABB′，
∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，
∴V_M-ANB′=V_C-ANB′
∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，
∴${S}_{△ANB′}=\frac{1}{4}{S}_{ABB′A′}=\frac{1}{4}×AB×AA′=\frac{1}{4}×2×3=\frac{3}{2}$．
∵ABC-A'B'C'为直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，
在三角形ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，
∴${V}_{C-ANB′}=\frac{1}{3}•{S}_{△ANB′}•BC=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×3=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．