Question

20．若${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^n}$展开式中存在常数项，则n的最小值为5．

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n的最小值．

解答 解：${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^n}$展开式中通项公式为
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{n-r}$•${（-\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{r}$=${C}_{n}^{r}$•（-1）^r•${x}^{\frac{3n-5r}{6}}$，
令$\frac{3n-5r}{6}$=0，解得n=$\frac{5r}{3}$，其中r=0，1，2，…，n；
当r=3时，n=5；
所以n的最小值为5．
故答案为：5．

点评 本题考查了利用二项展开式的通项公式求展开式的特定项问题，是基础题．