Question

6．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2b，
∵c²=a²+b²，
∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．