Question

已知f(x)=sin2(ωx+

π

12

)-

3

sin(ωx+

π

12

)sin(ωx-

5π

12

)-

1

2

（ω＞0）在区间[-

π

6

，

π

8

]上的最小值为-1，则ω的最小值为

3

2

．

Answer 1

分析：由三角函数的倍角公式把f(x)=sin2(ωx+

π

12

)-

3

sin(ωx+

π

12

)sin(ωx-

5π

12

)-

1

2

等价转化为y=

3

2

sin(2ωx+

π

6

)-

1

2

cos(2ωx+

π

6

)，再由三角函数的和（差）角公式进一步等价转化为y=sin2ωx．因为x∈[-

π

6

，

π

8

]，所以2ωx∈[-

ωπ

3

，

ωπ

4

]，再由f（x）在区间[-

π

6

，

π

8

]上的最小值为-1，得到-

ωπ

3

=-

π

2

，或

ωπ

4

=

3π

2

，由此能够求出ω的最小值．

解答：解：∵ω＞0，
∴f(x)=sin2(ωx+

π

12

)-

3

sin(ωx+

π

12

)sin(ωx-

5π

12

)-

1

2

=

1-cos(2ωx+ π 6 )

2

+

3

sin(ωx+

π

12

)cos(ωx+

π

12

)-

1

2

=

1-cos(2ωx+ π 6 )

2

+

3

2

sin(2ωx+

π

6

)-

1

2

=

3

2

sin(2ωx+

π

6

)-

1

2

cos(2ωx+

π

6

)
=sin2ωx．
∵x∈[-

π

6

，

π

8

]，
∴2ωx∈[-

ωπ

3

，

ωπ

4

]，
∵f（x）在区间[-

π

6

，

π

8

]上的最小值为-1，
∴-

ωπ

3

≤-

π

2

，或

ωπ

4

≥

3π

2

，
解得ω≥

3

2

，或ω≥6，
∴ω的最小值=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查正弦型曲线的图象和性质，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意三角函数的倍角公式、和（差）角公式的灵活运用．