Question

如图，△ABC中，

GA

+

GB

+

GC

=

0

，

CA

=

a

，

CB

=

b

，若

CP

=m

a

，

CQ

=n

b

，CG与PQ交于点H，

CG

=2

CH

，则

1

m

+

1

n

=（　　）

• A、8
• B、6
• C、4
• D、2

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：容易判断G为△ABC的重心，延长CG交AB于D，利用特殊值法求

1

m

+

1

n

，取特殊的情况：PQ∥AB，根据

CG

=2

CH

及重心的性质容易得出|CH|=

1

3

|CD|，所以得到|CP|=

1

3

|CA|，|CQ|=

1

3

|CB|，所以得到m=

1

3

，n=

1

3

，所以

1

m

+

1

n

就能求了．

解答： 解：本题可以用特殊值法求解，如下图，假设PQ∥AB；
取AB中点D，连接GD，则

GA

+

GB

=2

GD

，∵

GA

+

GB

+

GC

=

0

；
2

GD

+

GC

=

0

，∴

GC

=-2

GD

，∴

GC

与

GD

共线；
∴CD为△ABC边AB上的中线，同理可得到BG，AG分别延长之后，交于对边的中点；
∴G是△ABC中线的交点，即G是△ABC的重心；
∵

CG

=2

CH

，即|CG|=2|CH|，|CH|=

1

2

|CG|，根据重心的性质，|CG|=2|GD|，∴|CH|=|GD|=

1

3

|CD|；
∵PQ∥AB
∴|CP|=

1

3

|CA|，|CQ|=

1

3

|CB|；
又

CP

=m

a

=m

CA

，

CQ

=n

b

=n

CB

；
∴m=n=

1

3

；
∴

1

m

+

1

n

=6．
故选：B．

点评：考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，重心的性质，向量数乘的几何意义．