Question

函数f（x）=

log2x-1

log2x+1

，若f（x₁）+f（2x₂）=1（其中x₁、x₂均大于2），则f（x₁x₂）的最小值为（　　）

• A、

  3

  5

• B、

  2

  3

• C、

  4

  5

• D、

  5- 5

  4

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先对函数化简，再化简f（x₁）+f（2x₂）=1，又由x₁、x₂均大于2知，log₂2x₁，log₂4x₂＞0，从而构造应用基本不等式求最值．

解答： 解：∵函数f（x）=

log2x-1

log2x+1

=1-

2

log2x+1

=1-

2

log22x

，
∴f（x₁）+f（2x₂）=2-2（

1

log22x1

+

1

log24x2

）=1，
则

1

log22x1

+

1

log24x2

=

1

2

，
∵f（x₁x₂）=1-

2

log22x1x2

，
∵2+log₂2x₁x₂=log₂2x₁•4x₂=log₂2x₁+log₂4x₂
=2（log₂2x₁+log₂4x₂）•（

1

log22x1

+

1

log24x2

）
=2（2+

log22x1

log24x2

+

log24x2

log22x1

）≥2•4=8；
（当且仅当x₁=2x₂时，等号成立）
∴log₂2x₁x₂≥6．
则f（x₁x₂）=1-

2

log22x1x2

≥1-

2

6

=

2

3

．
故选B．

点评：本题考查了对数运算，对数函数的化简，及基本不等式的应用，综合性较强，属于难题．