Question

已知点P为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上异于左、右顶点的任意一点，F₁，F₂是左、右焦点，连接PF₁，PF₂，作△PF₁F₂的旁切圆（与线段PF₂，F₁P延长线及F₁F₂延长线均相切），其圆心为O′，则动圆圆心O′的轨迹所在曲线是（　　）

• A、直线
• B、圆
• C、椭圆
• D、双曲线

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：画出圆M，切点分别为E、D、G，由切线长相等定理知F₁G=F₁E，PD=PE，F₂D=F₂G，根据椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）=F₁G+F₂G=2a，由此入手知M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）．

解答： 解：如图画出圆M，切点分别为E、D、G，由切线长相等定理知
F₁G=F₁E，PD=PE，F₂D=F₂G，
根据椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，
∴PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）
=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）
=F₁G+F₂G=2a，
∴2F₂G=2a-2c，F₂G=a-c，
即点G与点A重合，
∴点M在x轴上的射影是长轴端点A，M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）；
故选A．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．