Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），且0＜α＜β，求不等式cx²-bx+a＞0的解集．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由于不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），可得：α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．利用根与系数的关系可把不等式cx²-bx+a＞0化为α•βx²+（α+β）x+1＜0，由0＜α＜β，可得-

1

α

＜-

1

β

即可解出．

解答： 解：∵不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），
∴α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴α+β=-

b

a

，α•β=

c

a

．
∴不等式cx²-bx+a＞0化为

c

a

x2-

b

a

x+1＜0，
∴α•βx²+（α+β）x+1＜0，
化为（αx+1）（βx+1）＜0，
∵0＜α＜β，∴-

1

α

＜-

1

β

．
∴-

1

α

＜x＜-

1

β

．
∴不等式cx²-bx+a＞0的解集为{x|-

1

α

＜x＜-

1

β

}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．