Question

已知函数f（x）=-2x²-2x-1，请问是否存在正整数t，使得x∈[-1，1]时f（x）≤t恒成立．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：函数f（x）=-2x²-2x-1=-2(x+

1

2

)2-

1

2

，利用二次函数的单调性可得：x∈[-1，1]，f（x）的最大值．
由于x∈[-1，1]时f（x）≤t恒成立?t≥[f（x）]_max，x∈[-1，1]．

解答： 解：函数f（x）=-2x²-2x-1=-2(x+

1

2

)2-

1

2

，
∵x∈[-1，1]，∴当x=-

1

2

时，f（x）取得最大值-

1

2

．
∵x∈[-1，1]时f（x）≤t恒成立．
∴t≥-

1

2

．
∴只要取t≥1，t∈N，x∈[-1，1]时f（x）≤t恒成立．

点评：本题考查了二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．