Question

如图所示，已知P为⊙O外一点，A在⊙O上，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD．
（Ⅰ）求证：EF•EP=DE•EA；
（Ⅱ）若EB=DE=6，EF=4，求EP的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）证明△DEF∽△PEA，即可得到比例式，从而可得结论；
（2）利用△DEF∽△CED，求EC的长，利用相交弦定理，求EP的长，再利用切割线定理，即可求PA的长．

解答： 证明：（1）∵CD∥AP，∴∠ECD=∠APE．
∵∠EDF=∠ECD，∴∠APE=∠EDF…（3分）
又∵∠DEF=∠PEA，∴△DEF∽△PEA
∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．…（5分）
解：（2）∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED，
∴△DEF∽△CED，∴DE：EC=EF：DE，
∴DE²=EF•EC，
∵DE=6，EF=4，∴EC=9．…（6分）
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE•EA=CE•EB
∴CE•EB=EF•EP．…（7分）
∴9×6=4×EP．解得：EP=

27

2

．…（8分）
∴PB=PE-BE=

15

2

，PC=PE+EC=

45

2

．
由切割线定理得：PA²=PB•PC，…（9分）
∴PA²=

15

2

×

45

2

，
∴PA=

15

2

3

…（10分）

点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似，考查相交弦定理，切割线定理的运用，属于基础题．