Question

设函数f（x）=ae^x+

1

aex

+b（a＞0），求f（x）在[0，+∞）内的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：当0＜a≤1时，由基本不等式可得，当a＞1时则需由函数的单调性解答．

解答： 解：由题意可得f（x）=ae^x+

1

aex

+b≥2

aex• 1 aex

+b=2+b，
当且仅当ae^x=

1

aex

，即x=-lna时取等号，
∵x∈[0，+∞），∴0＜a≤1，
此时f（x）在[0，+∞）内的最小值为2+b，
但当a＞1时，上面的等号取不到，
故设e^x=t，则t≥1，可得y=at+

1

at

+b，
求导数可得此时y′＞0，函数单调递增，
∴当t=1即x=0时，函数取最小值a+

1

a

+b

点评：本题考查基本不等式，涉及分类讨论的思想，注意基本不等式成立的条件是解决问题的关键，属中档题．